: :  Tempus SCM No C009B03 - Deliverables
 

INFORMATICS STUDIES
SUPPORT SUBJECTS
 
Множества и логика I сем (3+3+0) 6 ЕКТС

Елементи од теорија на множества: множества, подмножество, инклузија; операции со множества, директни производи;
Елементи од математичка логика: искази и исказни формули; исказни функции и квантификатори; тавтологии и логички точни формули.
Релации: релации, видови релации, еквивалентности, фактор множества, подредувања, подредени множества,
Пресликувања: дефиниција, видови пресликувања, композиција на пресликувања, инверзни пресликувања. Еквивалентни множества, конечни и бесконечни множества, кардинални броеви.
Аксиоми на исказно сметање. Булови алгебри.
Множеството на природни броеви, математичка индукција, цели броеви, деливост, прости броеви, модуларна аритметика, бројни системи.


Аналитичка геометрија I сем (2+2+1) 6 ЕКТС

Скаларни и векторски величини; операции со вектори; координатни системи; просторите R2 и R3; криви и површини; прави и рамнини во простор; кружница и сфера; криви од втор ред; површини од втор ред.


Калкулус 1 I сем (3+3+1) 8 ЕКТС

Реални броеви; комплексни броеви; низи и граници; функции, граници, непрекинатост; изводи, диференцијали; изводи од повисок ред; Тајлорова формула, Маклоренова формула; испитување на функции, графици. Неопределен интеграл, правила и методи на интегрирање; определен интеграл и примена; Се предвидува дека во рамки на лабораториски вежби да се користи на програмскиот пакет Mathematica


Диференцијално сметање I сем (3+3+1) 8 ЕКТС

Реални броеви. Функции. Операции со функции: збир, разлика, производ, количник и композиција. Гранични вредности. Тангента. Непрекинатост на функција. Изводи. Глобални и локални екстреми. Конвексност, конкавност и превојни точки. Инверзна функција. Логаритамска и експоненцијална функција. Инверзни функции на тригонометриските функции. Хиперболични функции. Лопиталово правило. Низи и нивна конвергенција.
Функции од повеќе променливи. Гранични вредности и непрекинатост. Парцијални изводи. Градиент. Тангентна рамнина и диференцијали. Екстремни вредности. Условен екстрем.
Се предвидува дека во рамки на лабораториски вежби да се користи на програмскиот пакет Mathematica


Математика (прв дел) I сем (3+2+1) 8 ЕКТС

Елементи од теорија на множества: множества, подмножество, инклузија; операции со множества, директни производи; Елементи од математичка логика: искази и исказни функции; логички сврзници и квантификатори; тавтологии и логички точни формули.
Природни броеви, математичка индукција. Цели, рационални, реални броеви и комплексни броеви. Комбинаторика. биномен образец.
Полиноми, полиномни функции, полиномни равенки. Бројни низи. Функии од една независна променлива. Гранична вредност на функција. Непрекинатост на функции.


Математика 1 I сем (3+2+1) 8 ЕКТС

Елементи од теорија на множества: множествао, подмножество, инклузија; операции со множества, директни производи; Елементи од математичка логика: искази и исказни функции; логички сврзници и квантификатори; тавтологии и логички точни формули.
Природни броеви, математичка индукција. Цели, рационални, реални броеви и комплексни броеви. Комбинаторика. биномен образец.
Полиноми, полиномни функции, полиномни равенки. Бројни низи. Функии од една независна променлива. Гранична вредност на функција. Непрекинатост на функции. Диференцијално сметање: изводи и диференцијали од прв ред, геометриска интерпретација и примена.


Линеарна алгебра II сем (3+3+0) 6 ЕКТС

Матрици: Дефиниција и видови матрици. Операции со матрици и својства. Детерминанти и својства. Инверзна матрица. Елементарни трансформации на матрици. Елементарни матрици и примена. Системи линерни равенки: Крамерово правило, теорема на Кронекер Капели, Гаусов метод на решаванје на системи линеарни равенки.
Вовед во векторски простори. Векторскиот простор Rn(R). Линеарна зависност. База и димензија. Координатни системи во Rn(R). Потпростор на векторски простор. Сопствени вредности, сопствени вектори и сопствени потпростори. Дијагонализација на квадратна матрица и примена. Линеарни трансформации.
Геометриска интерпретација на Â3(Â). . Скаларен и векторски производ и примена. Равенки на рамнини и прави во Â3(Â). . Површини и криви во Â3(Â). .
Предуслов: Множества и логика


Калкулус 2 II сем (3+3+1) 8 ЕКТС

Диференцијални равенки. Раздвојување на променливи, линеарни диференцијални равенки од прв ред, хомогени и нехомогени линеарни диференцијални равенки од повисок ред со константни коефициенти.
Бројни редови. Критериуми за конвергенција на редови. Функционални редови. Конвергенција на функционални редови. Тејлоров ред, Фуриев ред и Фуриева и Лапласова трансформација.
Функции со повеќе променливи. Основни поими, парцијални изводи, диференцијабилност, изводи на експлицитни и имплицитни функции.. Екстреми. Повеќекратни интеграли.
Предуслов: Калкулус 1


Интегрално сметање II сем (3+3+1) 8 ЕКТС

Определен интеграл и негови својства. Неопределен интеграл и правила на интегрирање. Интегрирање со замена. Техники на интегрирање: парцијална интеграција, тригонометриски интеграли, тригонометриски замени, интегрирање на дробно-рационални изрази. Несвојствени интеграли. Примена на интегралите: волумен на тело, должина на крива, плоштина на површина, моменти и центар на гравитација. Поларни координати.
Повеќекратни интеграли: двојни и тројни интеграли и нивна примена. Диференцијални равенки. Решавање на равенки со раздвоиви променливи, линеарни диференцијални равенки од прв ред, хомогени и нехомогени линеарни диференцијални равенки од втор ред.
Се предвидува дека во рамки на лабораториски вежби да се користи на програмскиот пакет Mathematica
Предуслов: Диференцијално сметање


Математика (втор дел) II сем (3+2+1) 8 ЕКТС

Диференцијално сметање: изводи и диференцијали од прв ред, геометриска интерпретација и примена. Извод од сложена функција, изводи и диференцијали од повисок ред. Интегрално сметање: неопределен интеграл и определен интеграл. Методи на интегрирање и примена.
Предуслов: Математика(прв дел)


Математика 2 II сем (3+2+1) 8 ЕКТС

Интегрално сметање: површина на рамнинска фигура, приближни методи за пресметување на површини, определен интеграл, неопределен интеграл, примитивна функција, таблични интеграли, решавање на интеграли со смена на променливи, интеграција на рационални функции, метод на парцијална интеграција, примена на интегралното сметање во геометријата, површина на рамнински фигури, површина и волумен на ротациони тела. Елементи од веројатност и статистика.
Предуслов: Математика 2


Конечна математика III сем (2+2+1) 6 ЕКТС

Елементи од комбинаторика; принцип на вклучување и исклучување; рекурентни формули; комплексност на алгоритми, системи од различни претставници; граф, неориентиран, планарен; претставување на граф со матрици; дрва; Ојлеров граф, Хамилтонов граф; задача на најкус пат; бипартитен граф; протоци во мрежа; алгоритми за графови.
Предуслов: Множества и логика.


Веројатност и статистика III сем (3+2+1) 6 ЕКТС

Основни концепти од веројатност (случајни настани, класична статистичка и аксиоматска дефиниција на веројатност). Низи од случајни експерименти (Бернулиева шема, гранични теореми на Муавр- Лаплас и Пуасон). Случајни променливи и функции на распределба (дискретни и апсолутно непрекинати, еднодимензионални и повешедимензионални, функции од случајни променливи). Бројни карактеристики на случајни променливи (математичко очекување, дисперзија, коваријанса, корелација, моменти, функција изводница). Слаб закон на големи броеви и централна гранична теорема.
Дескриптивна статистика. Случаен примерок и статистики. Точкасто оценување (оценувачи, метод на максимална подобност, метод на моменти). Интервално оценување ( интервали на доверба за очекување, дисперзија и веројатност од успех). Тестирање на хипотези (тестови за просек и дисперзија на популација и совпаѓање на распредеби). Линеарна регресија (оценување на права на регресија, тестирање на хипотези за регресионите параметри и интервали на доверба за регресија).
Предуслов: Калкулус 1 и Калкулус 2


Веројатност III сем (3+2+0) 8 ЕКТС

Експерименти и настани. Множество елементарни настани, случајни настани и операции со случајни настани. Дефиниција и својства на веројатноста. Дискретен простор на веројатност. Класична дефиниција на веројатност. Геометриска веројатност. Условна веројатност. Формула за тотална веројатност и Бајесови формули. Независност на случајни настани. Производ на простори на веројатност: Бернулиева шема. Најверојатен број. Асимптотски формули за определување на веројатностите во Бернулиева шема (Теорема на Моавр-Лаплас и Теорема на Поасон).
Случајни променливи. Функција на распределба на една случајна променлива. Случајни променливи од дискретен и од апсолутно-непрекинат тип. Случајни вектори: дефиниција, функција на распределба, маргинални распределби. Условна распределба. Независност на случајни променливи. Функции од случајни променливи.
Бројни карактеристики: математичко очекување, моменти, дисперзија на случајна променлива, моменти на случајни вектори: почетен и централен момент од ред (р,с), коваријанса и коефициент на корелација помеѓу две случајни променливи.
Гранични теореми: Карактеристична функција. Закон на големите броеви. Централна гранична теорема.
Предуслов: Диференцијално сметање, Итегрално сметање


Елементарна веројатност III сем (2+2+1) 6 ЕКТС

Експерименти и настани, статистичка веројатност. Множество елементарни настани. Случајни настани и операции со настани. Дискретен простор на веројаност. Класична дефиниција на веројатност. Условна веројатност. Формула за тотална веројатност и Бејесови формули. Независност на случајни настани. Серија независни експерименти. Бернулиева шема. Случајни променливи од дискретен тип. Поважни распределби. Дводимензионален дискретен случаен вектор. Условна распределба. Независност на случајни променливи. Непрекинати распределби. Нормална распределба. Бројни карактеристики на случајни променливи од дискретен тип: математичко очекување, медијана, мода, моменти, дисперзија, коефициент на корелација. Закон на големите броеви. Централна гранична теорема.
Предуслов: Математика (втор дел)


Нумерички методи IV сем (3+0+2) 6 ЕКТС

Нумерички методи и пресметувања, приближни броеви: претставување и операции. Анализа на грешки.
Нумерички методи за решавање на системи линеарни равенки. Приближно решавање на нелинеарни равенки.
Полиномна интерполација на функции. Апроксимација на функции.
Нумеричко диференцирање и интегрирање.
Нумеричко решавање на диференцијални равенки (Ојлерови методи и Рунге-Кута)
Предуслов: Лиеарна алгебра, Калкулус 1 и Калкулус 2.


Нумеричкo сметање IV сем (2+2+2) 6 ЕКТС

Приближни броеви и операции со нив. Приближно решавање на нелинеарни равенки. Приближно решавање на полиномните равенки. Системи линеарни равенки. Сведување на линеарен сиситем во форма погодна за итеративно решавање.
Предуслов: Линеарна алгебра, Итегрално сметање


Теорија на информации IV(VI) сем (2+2+1) 6 ЕКТС

Комуникациски систем. Теорија на Шенон. Ентропија. Сопствена и взаемна информација. Дискретен извор на информации: извор без меморија, Марков извор, ергодичен извор. Кодови со фиксна и променлива должина на кодните замени. Проблем на оптималност кај моментални кодови, конструкција на оптимален код. Дискретен канал. Капацитет на дискретен канал без меморија. Збир на дискретни канали без меморија. Кодер и декодер на комуникациски канал: шема на одлучување. Линеарни кодови. Линеарни блок кодови. Хамингтонов код и кодови за откривање и корекција на грешки. Компресија на податоци.
Предуслов: Веројатност и статистика


Статистика IV сем (2+2+1) 6 EKTS

Основни поими и принципи во статистиката: популација и примерок. Обработка и опишување на статистички податоци. Случаен примерок, статистики и распределби на поважни статистики. Оценување на параметри: метод на максимална подобност, метод на моменти. Видови оценувачи: непристрасни, конзистентни, доволни и оценувачи со минимална дисперзија. Интервали на доверба. Тестирање на статистички хипотези. Најмоќни, рамномерно најмоќни и тестови со коефициент на подобност. Тестови за просек и дисперзија на популација и веројатност од успех. Непараметарски тестови за совпаѓање на распределби и табели на контингенција. Линеарна регресија. Анализа на варијанса.
Предуслов: Веројатност


Елементарна статистика IV сем (2+2+1) 6 EKTS

Дескриптивни статистики. Распределба на просек и дисперзија на примерок. Интервали на доверба за просек, дисперзија на примерок и веројатност од успех во даден експеримент. Тестови за просек, дисперзија на примерок и веројатност од успех во даден експеримент. Линеарна регресија. Табели на контингенција.
Предуслов: Елементарна веројатност.


Дискретни структури 2 V сем (3+2+1) 7 ЕКТС

Математичка логика - предикатно сметање. Квантификатори, интерпретации, формална теорија на предикатно сметање. Унификација и резолуција. Логичко програмирање. Формални системи.
Операции, алгебарски структури. Групи. Циклични групи и групи од пермутации. Конечни полиња и примена.
Предуслов: Множества и логика, Конечна математика


Математичка анализа V сем (3+2+1) 7 ЕКТС

Бројни редови. Конвергентни редови. Критериуми за конвергенција на редови. Наизменични редови. Лајбницов критериум за конвергенција. Апсолутно конвергентни редови. Функционална низа. Функционални редови. Степенски ред. Тајлоров и Маклоренов ред. Функционални редови: конвергентност, рамномерна конвергентност, интегрирање и диференцирање под знакот на збир, Степенски редови: Интервал и радиус на конвергенција. Фуриеви редови.
Комплексни броеви, комплексни функции. Граници и непрекинатост. Извод на комплексна функција. Низи и редови од комплексни броеви. Фрактали и теорија на хаос. Лапласова трансформација. Инверзна Лапласова трансформација. Фуриев интеграл и фуриева трансформација, инверзна фуриева трансформација и нивни примени.
Се предвидува дека во рамки на лабораториски вежби да се користи на програмскиот пакет Mathematica.
Предуслов: Интегрално сметање


Избор од природни науки V сем (2+2+1) 6 ЕКТС

Студентот избира предмет од соодветен семастар на студиите од останатите институти на ПМФ.